# mathlibdocumentation

data.seq.computation

def computation (α : Type u) :
Type u

computation α is the type of unbounded computations returning α. An element of computation α is an infinite sequence of option α such that if f n = some a for some n then it is constantly some a after that.

Equations
• = {f // ∀ ⦃n : ⦄ ⦃a : α⦄, f n = f (n + 1) =
Instances for computation
def computation.return {α : Type u} (a : α) :

return a is the computation that immediately terminates with result a.

Equations
Instances for computation.return
@[protected, instance]
def computation.has_coe_t {α : Type u} :
Equations
def computation.think {α : Type u} (c : computation α) :

think c is the computation that delays for one "tick" and then performs computation c.

Equations
Instances for computation.think
def computation.thinkN {α : Type u} (c : computation α) :

thinkN c n is the computation that delays for n ticks and then performs computation c.

Equations
Instances for computation.thinkN
def computation.head {α : Type u} (c : computation α) :

head c is the first step of computation, either some a if c = return a or none if c = think c'.

Equations
def computation.tail {α : Type u} (c : computation α) :

tail c is the remainder of computation, either c if c = return a or c' if c = think c'.

Equations
def computation.empty (α : Type u_1) :

empty α is the computation that never returns, an infinite sequence of thinks.

Equations
@[protected, instance]
def computation.inhabited {α : Type u} :
Equations
def computation.run_for {α : Type u} :

run_for c n evaluates c for n steps and returns the result, or none if it did not terminate after n steps.

Equations
def computation.destruct {α : Type u} (c : computation α) :
α

destruct c is the destructor for computation α as a coinductive type. It returns inl a if c = return a and inr c' if c = think c'.

Equations
meta def computation.run {α : Type u} :
→ α

run c is an unsound meta function that runs c to completion, possibly resulting in an infinite loop in the VM.

theorem computation.destruct_eq_ret {α : Type u} {s : computation α} {a : α} :
s.destruct =
theorem computation.destruct_eq_think {α : Type u} {s s' : computation α} :
s.destruct = sum.inr s's = s'.think
@[simp]
theorem computation.destruct_ret {α : Type u} (a : α) :
@[simp]
theorem computation.destruct_think {α : Type u} (s : computation α) :
@[simp]
theorem computation.destruct_empty {α : Type u} :
@[simp]
theorem computation.head_ret {α : Type u} (a : α) :
@[simp]
theorem computation.head_think {α : Type u} (s : computation α) :
@[simp]
theorem computation.head_empty {α : Type u} :
@[simp]
theorem computation.tail_ret {α : Type u} (a : α) :
@[simp]
theorem computation.tail_think {α : Type u} (s : computation α) :
@[simp]
theorem computation.tail_empty {α : Type u} :
theorem computation.think_empty {α : Type u} :
def computation.cases_on {α : Type u} {C : Sort v} (s : computation α) (h1 : Π (a : α), C ) (h2 : Π (s : , C s.think) :
C s
Equations
def computation.corec.F {α : Type u} {β : Type v} (f : β → α β) :
α β × β)
Equations
def computation.corec {α : Type u} {β : Type v} (f : β → α β) (b : β) :

corec f b is the corecursor for computation α as a coinductive type. If f b = inl a then corec f b = return a, and if f b = inl b' then corec f b = think (corec f b').

Equations
@[simp]
def computation.lmap {α : Type u} {β : Type v} {γ : Type w} (f : α → β) :
α γβ γ

left map of

Equations
@[simp]
def computation.rmap {α : Type u} {β : Type v} {γ : Type w} (f : β → γ) :
α βα γ

right map of

Equations
@[simp]
theorem computation.corec_eq {α : Type u} {β : Type v} (f : β → α β) (b : β) :
b).destruct = (f b)
@[simp]
def computation.bisim_o {α : Type u} (R : → Prop) :
α α → Prop
Equations
def computation.is_bisimulation {α : Type u} (R : → Prop) :
Prop
Equations
• = ∀ ⦃s₁ s₂ : ⦄, R s₁ s₂ s₂.destruct
theorem computation.eq_of_bisim {α : Type u} (R : → Prop) (bisim : computation.is_bisimulation R) {s₁ s₂ : computation α} (r : R s₁ s₂) :
s₁ = s₂
@[protected]
def computation.mem {α : Type u} (a : α) (s : computation α) :
Prop
Equations
@[protected, instance]
def computation.has_mem {α : Type u} :
Equations
theorem computation.le_stable {α : Type u} (s : computation α) {a : α} {m n : } (h : m n) :
s.val m = s.val n =
theorem computation.mem_unique {α : Type u} {s : computation α} {a b : α} :
a sb sa = b
theorem computation.mem.left_unique {α : Type u} :
@[class]
structure computation.terminates {α : Type u} (s : computation α) :
Prop
• term : ∃ (a : α), a s

terminates s asserts that the computation s eventually terminates with some value.

Instances of this typeclass
theorem computation.terminates_iff {α : Type u} (s : computation α) :
s.terminates ∃ (a : α), a s
theorem computation.terminates_of_mem {α : Type u} {s : computation α} {a : α} (h : a s) :
theorem computation.terminates_def {α : Type u} (s : computation α) :
s.terminates ∃ (n : ), ((s.val n).is_some)
theorem computation.ret_mem {α : Type u} (a : α) :
theorem computation.eq_of_ret_mem {α : Type u} {a a' : α} (h : a' ) :
a' = a
@[protected, instance]
def computation.ret_terminates {α : Type u} (a : α) :
theorem computation.think_mem {α : Type u} {s : computation α} {a : α} :
a sa s.think
@[protected, instance]
def computation.think_terminates {α : Type u} (s : computation α) [s.terminates] :
theorem computation.of_think_mem {α : Type u} {s : computation α} {a : α} :
a s.thinka s
theorem computation.of_think_terminates {α : Type u} {s : computation α} :
theorem computation.not_mem_empty {α : Type u} (a : α) :
theorem computation.not_terminates_empty {α : Type u} :
theorem computation.eq_empty_of_not_terminates {α : Type u} {s : computation α} (H : ¬s.terminates) :
theorem computation.thinkN_mem {α : Type u} {s : computation α} {a : α} (n : ) :
a s.thinkN n a s
@[protected, instance]
def computation.thinkN_terminates {α : Type u} (s : computation α) [s.terminates] (n : ) :
theorem computation.of_thinkN_terminates {α : Type u} (s : computation α) (n : ) :
def computation.promises {α : Type u} (s : computation α) (a : α) :
Prop

promises s a, or s ~> a, asserts that although the computation s may not terminate, if it does, then the result is a.

Equations
• s ~> a = ∀ ⦃a' : α⦄, a' sa = a'
theorem computation.mem_promises {α : Type u} {s : computation α} {a : α} :
a ss ~> a
theorem computation.empty_promises {α : Type u} (a : α) :
def computation.length {α : Type u} (s : computation α) [h : s.terminates] :

length s gets the number of steps of a terminating computation

Equations
def computation.get {α : Type u} (s : computation α) [h : s.terminates] :
α

get s returns the result of a terminating computation

Equations
theorem computation.get_mem {α : Type u} (s : computation α) [h : s.terminates] :
s.get s
theorem computation.get_eq_of_mem {α : Type u} (s : computation α) [h : s.terminates] {a : α} :
a ss.get = a
theorem computation.mem_of_get_eq {α : Type u} (s : computation α) [h : s.terminates] {a : α} :
s.get = aa s
@[simp]
theorem computation.get_think {α : Type u} (s : computation α) [h : s.terminates] :
@[simp]
theorem computation.get_thinkN {α : Type u} (s : computation α) [h : s.terminates] (n : ) :
(s.thinkN n).get = s.get
theorem computation.get_promises {α : Type u} (s : computation α) [h : s.terminates] :
s ~> s.get
theorem computation.mem_of_promises {α : Type u} (s : computation α) [h : s.terminates] {a : α} (p : s ~> a) :
a s
theorem computation.get_eq_of_promises {α : Type u} (s : computation α) [h : s.terminates] {a : α} :
s ~> as.get = a
def computation.results {α : Type u} (s : computation α) (a : α) (n : ) :
Prop

results s a n completely characterizes a terminating computation: it asserts that s terminates after exactly n steps, with result a.

Equations
theorem computation.results_of_terminates {α : Type u} (s : computation α) [T : s.terminates] :
theorem computation.results_of_terminates' {α : Type u} (s : computation α) [T : s.terminates] {a : α} (h : a s) :
theorem computation.results.mem {α : Type u} {s : computation α} {a : α} {n : } :
s.results a na s
theorem computation.results.terminates {α : Type u} {s : computation α} {a : α} {n : } (h : s.results a n) :
theorem computation.results.length {α : Type u} {s : computation α} {a : α} {n : } [T : s.terminates] :
s.results a ns.length = n
theorem computation.results.val_unique {α : Type u} {s : computation α} {a b : α} {m n : } (h1 : s.results a m) (h2 : s.results b n) :
a = b
theorem computation.results.len_unique {α : Type u} {s : computation α} {a b : α} {m n : } (h1 : s.results a m) (h2 : s.results b n) :
m = n
theorem computation.exists_results_of_mem {α : Type u} {s : computation α} {a : α} (h : a s) :
∃ (n : ), s.results a n
@[simp]
theorem computation.get_ret {α : Type u} (a : α) :
= a
@[simp]
theorem computation.length_ret {α : Type u} (a : α) :
theorem computation.results_ret {α : Type u} (a : α) :
0
@[simp]
theorem computation.length_think {α : Type u} (s : computation α) [h : s.terminates] :
theorem computation.results_think {α : Type u} {s : computation α} {a : α} {n : } (h : s.results a n) :
s.think.results a (n + 1)
theorem computation.of_results_think {α : Type u} {s : computation α} {a : α} {n : } (h : s.think.results a n) :
∃ (m : ), s.results a m n = m + 1
@[simp]
theorem computation.results_think_iff {α : Type u} {s : computation α} {a : α} {n : } :
s.think.results a (n + 1) s.results a n
theorem computation.results_thinkN {α : Type u} {s : computation α} {a : α} {m : } (n : ) :
s.results a m(s.thinkN n).results a (m + n)
theorem computation.results_thinkN_ret {α : Type u} (a : α) (n : ) :
.thinkN n).results a n
@[simp]
theorem computation.length_thinkN {α : Type u} (s : computation α) [h : s.terminates] (n : ) :
(s.thinkN n).length = s.length + n
theorem computation.eq_thinkN {α : Type u} {s : computation α} {a : α} {n : } (h : s.results a n) :
s = n
theorem computation.eq_thinkN' {α : Type u} (s : computation α) [h : s.terminates] :
s =
def computation.mem_rec_on {α : Type u} {C : Sort v} {a : α} {s : computation α} (M : a s) (h1 : C ) (h2 : Π (s : , C sC s.think) :
C s
Equations
def computation.terminates_rec_on {α : Type u} {C : Sort v} (s : computation α) [s.terminates] (h1 : Π (a : α), C ) (h2 : Π (s : , C sC s.think) :
C s
Equations
• h2 = (h1 s.get) h2
def computation.map {α : Type u} {β : Type v} (f : α → β) :

Map a function on the result of a computation.

Equations
Instances for computation.map
def computation.bind.G {α : Type u} {β : Type v} :
β β
Equations
def computation.bind.F {α : Type u} {β : Type v} (f : α → ) :
β
Equations
def computation.bind {α : Type u} {β : Type v} (c : computation α) (f : α → ) :

Compose two computations into a monadic bind operation.

Equations
Instances for computation.bind
@[protected, instance]
Equations
theorem computation.has_bind_eq_bind {α β : Type u} (c : computation α) (f : α → ) :
c >>= f = c.bind f
def computation.join {α : Type u} (c : computation (computation α)) :

Flatten a computation of computations into a single computation.

Equations
@[simp]
theorem computation.map_ret {α : Type u} {β : Type v} (f : α → β) (a : α) :
@[simp]
theorem computation.map_think {α : Type u} {β : Type v} (f : α → β) (s : computation α) :
= s).think
@[simp]
theorem computation.destruct_map {α : Type u} {β : Type v} (f : α → β) (s : computation α) :
s).destruct =
@[simp]
theorem computation.map_id {α : Type u} (s : computation α) :
theorem computation.map_comp {α : Type u} {β : Type v} {γ : Type w} (f : α → β) (g : β → γ) (s : computation α) :
computation.map (g f) s = s)
@[simp]
theorem computation.ret_bind {α : Type u} {β : Type v} (a : α) (f : α → ) :
f = f a
@[simp]
theorem computation.think_bind {α : Type u} {β : Type v} (c : computation α) (f : α → ) :
c.think.bind f = (c.bind f).think
@[simp]
theorem computation.bind_ret {α : Type u} {β : Type v} (f : α → β) (s : computation α) :
s.bind =
@[simp]
theorem computation.bind_ret' {α : Type u} (s : computation α) :
@[simp]
theorem computation.bind_assoc {α : Type u} {β : Type v} {γ : Type w} (s : computation α) (f : α → ) (g : β → ) :
(s.bind f).bind g = s.bind (λ (x : α), (f x).bind g)
theorem computation.results_bind {α : Type u} {β : Type v} {s : computation α} {f : α → } {a : α} {b : β} {m n : } (h1 : s.results a m) (h2 : (f a).results b n) :
(s.bind f).results b (n + m)
theorem computation.mem_bind {α : Type u} {β : Type v} {s : computation α} {f : α → } {a : α} {b : β} (h1 : a s) (h2 : b f a) :
b s.bind f
@[protected, instance]
def computation.terminates_bind {α : Type u} {β : Type v} (s : computation α) (f : α → ) [s.terminates] [(f s.get).terminates] :
@[simp]
theorem computation.get_bind {α : Type u} {β : Type v} (s : computation α) (f : α → ) [s.terminates] [(f s.get).terminates] :
(s.bind f).get = (f s.get).get
@[simp]
theorem computation.length_bind {α : Type u} {β : Type v} (s : computation α) (f : α → ) [T1 : s.terminates] [T2 : (f s.get).terminates] :
(s.bind f).length = (f s.get).length + s.length
theorem computation.of_results_bind {α : Type u} {β : Type v} {s : computation α} {f : α → } {b : β} {k : } :
(s.bind f).results b k(∃ (a : α) (m n : ), s.results a m (f a).results b n k = n + m)
theorem computation.exists_of_mem_bind {α : Type u} {β : Type v} {s : computation α} {f : α → } {b : β} (h : b s.bind f) :
∃ (a : α) (H : a s), b f a
theorem computation.bind_promises {α : Type u} {β : Type v} {s : computation α} {f : α → } {a : α} {b : β} (h1 : s ~> a) (h2 : f a ~> b) :
s.bind f ~> b
@[protected, instance]
Equations
@[protected, instance]
theorem computation.has_map_eq_map {α β : Type u} (f : α → β) (c : computation α) :
f <$> c = @[simp] theorem computation.return_def {α : Type u} (a : α) : @[simp] theorem computation.map_ret' {α β : Type u_1} (f : α → β) (a : α) : @[simp] theorem computation.map_think' {α β : Type u_1} (f : α → β) (s : computation α) : f <$> s.think = (f <\$> s).think
theorem computation.mem_map {α : Type u} {β : Type v} (f : α → β) {a : α} {s : computation α} (m : a s) :
f a
theorem computation.exists_of_mem_map {α : Type u} {β : Type v} {f : α → β} {b : β} {s : computation α} (h : b ) :
∃ (a : α), a s f a = b
@[protected, instance]
def computation.terminates_map {α : Type u} {β : Type v} (f : α → β) (s : computation α) [s.terminates] :
theorem computation.terminates_map_iff {α : Type u} {β : Type v} (f : α → β) (s : computation α) :
def computation.orelse {α : Type u} (c₁ c₂ : computation α) :

c₁ <|> c₂ calculates c₁ and c₂ simultaneously, returning the first one that gives a result.

Equations
• c₁.orelse c₂ = computation.corec (λ (_x : , computation.orelse._match_3 _x) (c₁, c₂)
• computation.orelse._match_3 (c₁, c₂) = computation.orelse._match_1 c₂ c₁.destruct
• computation.orelse._match_1 c₂ (sum.inr c₁') = computation.orelse._match_2 c₁' c₂.destruct
• computation.orelse._match_1 c₂ (sum.inl a) =
• computation.orelse._match_2 c₁' (sum.inr c₂') = sum.inr (c₁', c₂')
• computation.orelse._match_2 c₁' (sum.inl a) =
@[protected, instance]
Equations
@[simp]
theorem computation.ret_orelse {α : Type u} (a : α) (c₂ : computation α) :
<|> c₂) =
@[simp]
theorem computation.orelse_ret {α : Type u} (c₁ : computation α) (a : α) :
@[simp]
theorem computation.orelse_think {α : Type u} (c₁ c₂ : computation α) :
(c₁.think <|> c₂.think) = (c₁ <|> c₂).think
@[simp]
theorem computation.empty_orelse {α : Type u} (c : computation α) :
<|> c) = c
@[simp]
theorem computation.orelse_empty {α : Type u} (c : computation α) :
(c <|> = c
def computation.equiv {α : Type u} (c₁ c₂ : computation α) :
Prop

c₁ ~ c₂ asserts that c₁ and c₂ either both terminate with the same result, or both loop forever.

Equations
• c₁ ~ c₂ = ∀ (a : α), a c₁ a c₂
@[refl]
theorem computation.equiv.refl {α : Type u} (s : computation α) :
s ~ s
@[symm]
theorem computation.equiv.symm {α : Type u} {s t : computation α} :
s ~ tt ~ s
@[trans]
theorem computation.equiv.trans {α : Type u} {s t u : computation α} :
s ~ tt ~ us ~ u
theorem computation.equiv.equivalence {α : Type u} :
theorem computation.equiv_of_mem {α : Type u} {s t : computation α} {a : α} (h1 : a s) (h2 : a t) :
s ~ t
theorem computation.terminates_congr {α : Type u} {c₁ c₂ : computation α} (h : c₁ ~ c₂) :
theorem computation.promises_congr {α : Type u} {c₁ c₂ : computation α} (h : c₁ ~ c₂) (a : α) :
c₁ ~> a c₂ ~> a
theorem computation.get_equiv {α : Type u} {c₁ c₂ : computation α} (h : c₁ ~ c₂) [c₁.terminates] [c₂.terminates] :
c₁.get = c₂.get
theorem computation.think_equiv {α : Type u} (s : computation α) :
s.think ~ s
theorem computation.thinkN_equiv {α : Type u} (s : computation α) (n : ) :
s.thinkN n ~ s
theorem computation.bind_congr {α : Type u} {β : Type v} {s1 s2 : computation α} {f1 f2 : α → } (h1 : s1 ~ s2) (h2 : ∀ (a : α), f1 a ~ f2 a) :
s1.bind f1 ~ s2.bind f2
theorem computation.equiv_ret_of_mem {α : Type u} {s : computation α} {a : α} (h : a s) :
def computation.lift_rel {α : Type u} {β : Type v} (R : α → β → Prop) (ca : computation α) (cb : computation β) :
Prop

lift_rel R ca cb is a generalization of equiv to relations other than equality. It asserts that if ca terminates with a, then cb terminates with some b such that R a b, and if cb terminates with b then ca terminates with some a such that R a b.

Equations
• cb = ((∀ {a : α}, a ca(∃ {b : β}, b cb R a b)) ∀ {b : β}, b cb(∃ {a : α}, a ca R a b))
theorem computation.lift_rel.swap {α : Type u} {β : Type v} (R : α → β → Prop) (ca : computation α) (cb : computation β) :
ca cb
theorem computation.lift_eq_iff_equiv {α : Type u} (c₁ c₂ : computation α) :
c₂ c₁ ~ c₂
theorem computation.lift_rel.refl {α : Type u} (R : α → α → Prop) (H : reflexive R) :
theorem computation.lift_rel.symm {α : Type u} (R : α → α → Prop) (H : symmetric R) :
theorem computation.lift_rel.trans {α : Type u} (R : α → α → Prop) (H : transitive R) :
theorem computation.lift_rel.equiv {α : Type u} (R : α → α → Prop) :
theorem computation.lift_rel.imp {α : Type u} {β : Type v} {R S : α → β → Prop} (H : ∀ {a : α} {b : β}, R a bS a b) (s : computation α) (t : computation β) :
t t
theorem computation.terminates_of_lift_rel {α : Type u} {β : Type v} {R : α → β → Prop} {s : computation α} {t : computation β} :
theorem computation.rel_of_lift_rel {α : Type u} {β : Type v} {R : α → β → Prop} {ca : computation α} {cb : computation β} :
cb∀ {a : α} {b : β}, a cab cbR a b
theorem computation.lift_rel_of_mem {α : Type u} {β : Type v} {R : α → β → Prop} {a : α} {b : β} {ca : computation α} {cb : computation β} (ma : a ca) (mb : b cb) (ab : R a b) :
cb
theorem computation.exists_of_lift_rel_left {α : Type u} {β : Type v} {R : α → β → Prop} {ca : computation α} {cb : computation β} (H : cb) {a : α} (h : a ca) :
∃ {b : β}, b cb R a b
theorem computation.exists_of_lift_rel_right {α : Type u} {β : Type v} {R : α → β → Prop} {ca : computation α} {cb : computation β} (H : cb) {b : β} (h : b cb) :
∃ {a : α}, a ca R a b
theorem computation.lift_rel_def {α : Type u} {β : Type v} {R : α → β → Prop} {ca : computation α} {cb : computation β} :
cb (ca.terminates cb.terminates) ∀ {a : α} {b : β}, a cab cbR a b
theorem computation.lift_rel_bind {α : Type u} {β : Type v} {γ : Type w} {δ : Type u_1} (R : α → β → Prop) (S : γ → δ → Prop) {s1 : computation α} {s2 : computation β} {f1 : α → } {f2 : β → } (h1 : s2) (h2 : ∀ {a : α} {b : β}, R a b (f1 a) (f2 b)) :
(s1.bind f1) (s2.bind f2)
@[simp]
theorem computation.lift_rel_return_left {α : Type u} {β : Type v} (R : α → β → Prop) (a : α) (cb : computation β) :
∃ {b : β}, b cb R a b
@[simp]
theorem computation.lift_rel_return_right {α : Type u} {β : Type v} (R : α → β → Prop) (ca : computation α) (b : β) :
∃ {a : α}, a ca R a b
@[simp]
theorem computation.lift_rel_return {α : Type u} {β : Type v} (R : α → β → Prop) (a : α) (b : β) :
R a b
@[simp]
theorem computation.lift_rel_think_left {α : Type u} {β : Type v} (R : α → β → Prop) (ca : computation α) (cb : computation β) :
cb cb
@[simp]
theorem computation.lift_rel_think_right {α : Type u} {β : Type v} (R : α → β → Prop) (ca : computation α) (cb : computation β) :
cb.think cb
theorem computation.lift_rel_mem_cases {α : Type u} {β : Type v} {R : α → β → Prop} {ca : computation α} {cb : computation β} (Ha : ∀ (a : α), a ca cb) (Hb : ∀ (b : β), b cb cb) :
cb
theorem computation.lift_rel_congr {α : Type u} {β : Type v} {R : α → β → Prop} {ca ca' : computation α} {cb cb' : computation β} (ha : ca ~ ca') (hb : cb ~ cb') :
cb ca' cb'
theorem computation.lift_rel_map {α : Type u} {β : Type v} {γ : Type w} {δ : Type u_1} (R : α → β → Prop) (S : γ → δ → Prop) {s1 : computation α} {s2 : computation β} {f1 : α → γ} {f2 : β → δ} (h1 : s2) (h2 : ∀ {a : α} {b : β}, R a bS (f1 a) (f2 b)) :
s1) s2)
theorem computation.map_congr {α : Type u} {β : Type v} (R : α → α → Prop) (S : β → β → Prop) {s1 s2 : computation α} {f : α → β} (h1 : s1 ~ s2) :
s1 ~ s2
@[simp]
def computation.lift_rel_aux {α : Type u} {β : Type v} (R : α → β → Prop) (C : → Prop) :
α β → Prop
Equations
@[simp]
theorem computation.lift_rel_aux.ret_left {α : Type u} {β : Type v} (R : α → β → Prop) (C : → Prop) (a : α) (cb : computation β) :
(sum.inl a) cb.destruct ∃ {b : β}, b cb R a b
theorem computation.lift_rel_aux.swap {α : Type u} {β : Type v} (R : α → β → Prop) (C : → Prop) (a : α ) (b : β ) :
a = b
@[simp]
theorem computation.lift_rel_aux.ret_right {α : Type u} {β : Type v} (R : α → β → Prop) (C : → Prop) (b : β) (ca : computation α) :
(sum.inl b) ∃ {a : α}, a ca R a b
theorem computation.lift_rel_rec.lem {α : Type u} {β : Type v} {R : α → β → Prop} (C : → Prop) (H : ∀ {ca : {cb : , C ca cb cb.destruct) (ca : computation α) (cb : computation β) (Hc : C ca cb) (a : α) (ha : a ca) :
cb
theorem computation.lift_rel_rec {α : Type u} {β : Type v} {R : α → β → Prop} (C : → Prop) (H : ∀ {ca : {cb : , C ca cb cb.destruct) (ca : computation α) (cb : computation β) (Hc : C ca cb) :
cb