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data.multiset.bind

# Bind operation for multisets #

This file defines a few basic operations on multiset, notably the monadic bind.

## Main declarations #

• multiset.join: The join, aka union or sum, of multisets.
• multiset.bind: The bind of a multiset-indexed family of multisets.
• multiset.product: Cartesian product of two multisets.
• multiset.sigma: Disjoint sum of multisets in a sigma type.

### Join #

def multiset.join {α : Type u_1} :
multiset (multiset α)

join S, where S is a multiset of multisets, is the lift of the list join operation, that is, the union of all the sets. join {{1, 2}, {1, 2}, {0, 1}} = {0, 1, 1, 1, 2, 2}

Equations
theorem multiset.coe_join {α : Type u_1} (L : list (list α)) :
L).join = (L.join)
@[simp]
theorem multiset.join_zero {α : Type u_1} :
0.join = 0
@[simp]
theorem multiset.join_cons {α : Type u_1} (s : multiset α) (S : multiset (multiset α)) :
(s ::ₘ S).join = s + S.join
@[simp]
theorem multiset.join_add {α : Type u_1} (S T : multiset (multiset α)) :
(S + T).join = S.join + T.join
@[simp]
theorem multiset.singleton_join {α : Type u_1} (a : multiset α) :
{a}.join = a
@[simp]
theorem multiset.mem_join {α : Type u_1} {a : α} {S : multiset (multiset α)} :
a S.join ∃ (s : multiset α) (H : s S), a s
@[simp]
theorem multiset.card_join {α : Type u_1} (S : multiset (multiset α)) :
theorem multiset.rel_join {α : Type u_1} {β : Type u_2} {r : α → β → Prop} {s : multiset (multiset α)} {t : multiset (multiset β)} (h : s t) :
s.join t.join

### Bind #

def multiset.bind {α : Type u_1} {β : Type u_2} (s : multiset α) (f : α → ) :

s.bind f is the monad bind operation, defined as (s.map f).join. It is the union of f a as a ranges over s.

Equations
@[simp]
theorem multiset.coe_bind {α : Type u_1} {β : Type u_2} (l : list α) (f : α → list β) :
l.bind (λ (a : α), (f a)) = (l.bind f)
@[simp]
theorem multiset.zero_bind {α : Type u_1} {β : Type u_2} (f : α → ) :
0.bind f = 0
@[simp]
theorem multiset.cons_bind {α : Type u_1} {β : Type u_2} (a : α) (s : multiset α) (f : α → ) :
(a ::ₘ s).bind f = f a + s.bind f
@[simp]
theorem multiset.singleton_bind {α : Type u_1} {β : Type u_2} (a : α) (f : α → ) :
{a}.bind f = f a
@[simp]
theorem multiset.add_bind {α : Type u_1} {β : Type u_2} (s t : multiset α) (f : α → ) :
(s + t).bind f = s.bind f + t.bind f
@[simp]
theorem multiset.bind_zero {α : Type u_1} {β : Type u_2} (s : multiset α) :
s.bind (λ (a : α), 0) = 0
@[simp]
theorem multiset.bind_add {α : Type u_1} {β : Type u_2} (s : multiset α) (f g : α → ) :
s.bind (λ (a : α), f a + g a) = s.bind f + s.bind g
@[simp]
theorem multiset.bind_cons {α : Type u_1} {β : Type u_2} (s : multiset α) (f : α → β) (g : α → ) :
s.bind (λ (a : α), f a ::ₘ g a) = s + s.bind g
@[simp]
theorem multiset.bind_singleton {α : Type u_1} {β : Type u_2} (s : multiset α) (f : α → β) :
s.bind (λ (x : α), {f x}) = s
@[simp]
theorem multiset.mem_bind {α : Type u_1} {β : Type u_2} {b : β} {s : multiset α} {f : α → } :
b s.bind f ∃ (a : α) (H : a s), b f a
@[simp]
theorem multiset.card_bind {α : Type u_1} {β : Type u_2} (s : multiset α) (f : α → ) :
theorem multiset.bind_congr {α : Type u_1} {β : Type u_2} {f g : α → } {m : multiset α} :
(∀ (a : α), a mf a = g a)m.bind f = m.bind g
theorem multiset.bind_hcongr {α : Type u_1} {β β' : Type u_2} {m : multiset α} {f : α → } {f' : α → multiset β'} (h : β = β') (hf : ∀ (a : α), a mf a == f' a) :
m.bind f == m.bind f'
theorem multiset.map_bind {α : Type u_1} {β : Type u_2} {γ : Type u_3} (m : multiset α) (n : α → ) (f : β → γ) :
(m.bind n) = m.bind (λ (a : α), (n a))
theorem multiset.bind_map {α : Type u_1} {β : Type u_2} {γ : Type u_3} (m : multiset α) (n : β → ) (f : α → β) :
m).bind n = m.bind (λ (a : α), n (f a))
theorem multiset.bind_assoc {α : Type u_1} {β : Type u_2} {γ : Type u_3} {s : multiset α} {f : α → } {g : β → } :
(s.bind f).bind g = s.bind (λ (a : α), (f a).bind g)
theorem multiset.bind_bind {α : Type u_1} {β : Type u_2} {γ : Type u_3} (m : multiset α) (n : multiset β) {f : α → β → } :
m.bind (λ (a : α), n.bind (λ (b : β), f a b)) = n.bind (λ (b : β), m.bind (λ (a : α), f a b))
theorem multiset.bind_map_comm {α : Type u_1} {β : Type u_2} {γ : Type u_3} (m : multiset α) (n : multiset β) {f : α → β → γ} :
m.bind (λ (a : α), multiset.map (λ (b : β), f a b) n) = n.bind (λ (b : β), multiset.map (λ (a : α), f a b) m)
@[simp]
theorem multiset.prod_bind {α : Type u_1} {β : Type u_2} [comm_monoid β] (s : multiset α) (t : α → ) :
(s.bind t).prod = (multiset.map (λ (a : α), (t a).prod) s).prod
@[simp]
theorem multiset.sum_bind {α : Type u_1} {β : Type u_2} (s : multiset α) (t : α → ) :
(s.bind t).sum = (multiset.map (λ (a : α), (t a).sum) s).sum
theorem multiset.rel_bind {α : Type u_1} {β : Type u_2} {γ : Type u_3} {δ : Type u_4} {r : α → β → Prop} {p : γ → δ → Prop} {s : multiset α} {t : multiset β} {f : α → } {g : β → } (h : (r f g) (hst : s t) :
(s.bind f) (t.bind g)
theorem multiset.count_sum {α : Type u_1} {β : Type u_2} [decidable_eq α] {m : multiset β} {f : β → } {a : α} :
m).sum = (multiset.map (λ (b : β), (f b)) m).sum
theorem multiset.count_bind {α : Type u_1} {β : Type u_2} [decidable_eq α] {m : multiset β} {f : β → } {a : α} :
(m.bind f) = (multiset.map (λ (b : β), (f b)) m).sum
theorem multiset.le_bind {α : Type u_1} {β : Type u_2} {f : α → } (S : multiset α) {x : α} (hx : x S) :
f x S.bind f

### Product of two multisets #

def multiset.product {α : Type u_1} {β : Type u_2} (s : multiset α) (t : multiset β) :
multiset × β)

The multiplicity of (a, b) in s ×ˢ t is the product of the multiplicity of a in s and b in t.

Equations
@[simp]
theorem multiset.coe_product {α : Type u_1} {β : Type u_2} (l₁ : list α) (l₂ : list β) :
l₁ ×ˢ l₂ = (l₁ ×ˢ l₂)
@[simp]
theorem multiset.zero_product {α : Type u_1} {β : Type u_2} (t : multiset β) :
0 ×ˢ t = 0
@[simp]
theorem multiset.cons_product {α : Type u_1} {β : Type u_2} (a : α) (s : multiset α) (t : multiset β) :
(a ::ₘ s) ×ˢ t = t + s ×ˢ t
@[simp]
theorem multiset.product_singleton {α : Type u_1} {β : Type u_2} (a : α) (b : β) :
{a} ×ˢ {b} = {(a, b)}
@[simp]
theorem multiset.add_product {α : Type u_1} {β : Type u_2} (s t : multiset α) (u : multiset β) :
(s + t) ×ˢ u = s ×ˢ u + t ×ˢ u
@[simp]
theorem multiset.product_add {α : Type u_1} {β : Type u_2} (s : multiset α) (t u : multiset β) :
s ×ˢ (t + u) = s ×ˢ t + s ×ˢ u
@[simp]
theorem multiset.mem_product {α : Type u_1} {β : Type u_2} {s : multiset α} {t : multiset β} {p : α × β} :
p s ×ˢ t p.fst s p.snd t
@[simp]
theorem multiset.card_product {α : Type u_1} {β : Type u_2} (s : multiset α) (t : multiset β) :

### Disjoint sum of multisets #

@[protected]
def multiset.sigma {α : Type u_1} {σ : α → Type u_5} (s : multiset α) (t : Π (a : α), multiset (σ a)) :
multiset (Σ (a : α), σ a)

sigma s t is the dependent version of product. It is the sum of (a, b) as a ranges over s and b ranges over t a.

Equations
@[simp]
theorem multiset.coe_sigma {α : Type u_1} {σ : α → Type u_5} (l₁ : list α) (l₂ : Π (a : α), list (σ a)) :
l₁.sigma (λ (a : α), (l₂ a)) = (l₁.sigma l₂)
@[simp]
theorem multiset.zero_sigma {α : Type u_1} {σ : α → Type u_5} (t : Π (a : α), multiset (σ a)) :
0.sigma t = 0
@[simp]
theorem multiset.cons_sigma {α : Type u_1} {σ : α → Type u_5} (a : α) (s : multiset α) (t : Π (a : α), multiset (σ a)) :
(a ::ₘ s).sigma t = (t a) + s.sigma t
@[simp]
theorem multiset.sigma_singleton {α : Type u_1} {β : Type u_2} (a : α) (b : α → β) :
{a}.sigma (λ (a : α), {b a}) = {a, b a⟩}
@[simp]
theorem multiset.add_sigma {α : Type u_1} {σ : α → Type u_5} (s t : multiset α) (u : Π (a : α), multiset (σ a)) :
(s + t).sigma u = s.sigma u + t.sigma u
@[simp]
theorem multiset.sigma_add {α : Type u_1} {σ : α → Type u_5} (s : multiset α) (t u : Π (a : α), multiset (σ a)) :
s.sigma (λ (a : α), t a + u a) = s.sigma t + s.sigma u
@[simp]
theorem multiset.mem_sigma {α : Type u_1} {σ : α → Type u_5} {s : multiset α} {t : Π (a : α), multiset (σ a)} {p : Σ (a : α), σ a} :
p s.sigma t p.fst s p.snd t p.fst
@[simp]
theorem multiset.card_sigma {α : Type u_1} {σ : α → Type u_5} (s : multiset α) (t : Π (a : α), multiset (σ a)) :
multiset.card (s.sigma t) = (multiset.map (λ (a : α), multiset.card (t a)) s).sum