# If C is preadditive, Cᵒᵖ has a natural preadditive structure. #

@[protected, instance]
Equations
@[protected, instance]
def category_theory.module_End_left (C : Type u_1) {X : Cᵒᵖ} {Y : C} :
Y)
Equations
@[simp]
theorem category_theory.unop_zero (C : Type u_1) (X Y : Cᵒᵖ) :
0.unop = 0
@[simp]
theorem category_theory.unop_add (C : Type u_1) {X Y : Cᵒᵖ} (f g : X Y) :
(f + g).unop = f.unop + g.unop
@[simp]
theorem category_theory.unop_zsmul (C : Type u_1) {X Y : Cᵒᵖ} (k : ) (f : X Y) :
(k f).unop = k f.unop
@[simp]
theorem category_theory.unop_neg (C : Type u_1) {X Y : Cᵒᵖ} (f : X Y) :
(-f).unop = -f.unop
@[simp]
theorem category_theory.op_zero (C : Type u_1) (X Y : C) :
0.op = 0
@[simp]
theorem category_theory.op_add (C : Type u_1) {X Y : C} (f g : X Y) :
(f + g).op = f.op + g.op
@[simp]
theorem category_theory.op_zsmul (C : Type u_1) {X Y : C} (k : ) (f : X Y) :
(k f).op = k f.op
@[simp]
theorem category_theory.op_neg (C : Type u_1) {X Y : C} (f : X Y) :
(-f).op = -f.op
def category_theory.unop_hom {C : Type u_1} (X Y : Cᵒᵖ) :
(X Y) →+

unop induces morphisms of monoids on hom groups of a preadditive category

Equations
@[simp]
theorem category_theory.unop_hom_apply {C : Type u_1} (X Y : Cᵒᵖ) (f : X Y) :
f = f.unop
@[simp]
theorem category_theory.unop_sum {C : Type u_1} (X Y : Cᵒᵖ) {ι : Type u_3} (s : finset ι) (f : ι → (X Y)) :
(s.sum f).unop = s.sum (λ (i : ι), (f i).unop)
def category_theory.op_hom {C : Type u_1} (X Y : C) :
(X Y) →+

op induces morphisms of monoids on hom groups of a preadditive category

Equations
@[simp]
theorem category_theory.op_hom_apply {C : Type u_1} (X Y : C) (f : X Y) :
f = f.op
@[simp]
theorem category_theory.op_sum {C : Type u_1} (X Y : C) {ι : Type u_3} (s : finset ι) (f : ι → (X Y)) :
(s.sum f).op = s.sum (λ (i : ι), (f i).op)
@[protected, instance]
def category_theory.functor.op_additive {C : Type u_1} {D : Type u_3} (F : C D) [F.additive] :
@[protected, instance]
def category_theory.functor.right_op_additive {C : Type u_1} {D : Type u_3} (F : Cᵒᵖ D) [F.additive] :
@[protected, instance]
def category_theory.functor.left_op_additive {C : Type u_1} {D : Type u_3} (F : C Dᵒᵖ) [F.additive] :
@[protected, instance]
def category_theory.functor.unop_additive {C : Type u_1} {D : Type u_3} (F : Cᵒᵖ Dᵒᵖ) [F.additive] :