data.int.log

# Integer logarithms in a field with respect to a natural base #

This file defines two ℤ-valued analogs of the logarithm of r : R with base b : ℕ:

• int.log b r: Lower logarithm, or floor log. Greatest k such that ↑b^k ≤ r.
• int.clog b r: Upper logarithm, or ceil log. Least k such that r ≤ ↑b^k.

Note that int.log gives the position of the left-most non-zero digit:

#eval (int.log 10 (0.09 : ℚ), int.log 10 (0.10 : ℚ), int.log 10 (0.11 : ℚ))
--    (-2,                    -1,                    -1)
#eval (int.log 10 (9 : ℚ),    int.log 10 (10 : ℚ),   int.log 10 (11 : ℚ))
--    (0,                     1,                     1)


which means it can be used for computing digit expansions

import data.fin.vec_notation

def digits (b : ℕ) (q : ℚ) (n : ℕ) : ℕ :=
⌊q*b^(↑n - int.log b q)⌋₊ % b

#eval digits 10 (1/7) ∘ (coe : fin 8 → ℕ)
-- ![1, 4, 2, 8, 5, 7, 1, 4]


## Main results #

• For int.log:
• int.zpow_log_le_self, int.lt_zpow_succ_log_self: the bounds formed by int.log, (b : R) ^ log b r ≤ r < (b : R) ^ (log b r + 1).
• int.zpow_log_gi: the galois coinsertion between zpow and int.log.
• For int.clog:
• int.zpow_pred_clog_lt_self, int.self_le_zpow_clog: the bounds formed by int.clog, (b : R) ^ (clog b r - 1) < r ≤ (b : R) ^ clog b r.
• int.clog_zpow_gi: the galois insertion between int.clog and zpow.
• int.neg_log_inv_eq_clog, int.neg_clog_inv_eq_log: the link between the two definitions.
def int.log {R : Type u_1} (b : ) (r : R) :

The greatest power of b such that b ^ log b r ≤ r.

Equations
theorem int.log_of_one_le_right {R : Type u_1} (b : ) {r : R} (hr : 1 r) :
theorem int.log_of_right_le_one {R : Type u_1} (b : ) {r : R} (hr : r 1) :
@[simp, norm_cast]
theorem int.log_nat_cast {R : Type u_1} (b n : ) :
n = (nat.log b n)
theorem int.log_of_left_le_one {R : Type u_1} {b : } (hb : b 1) (r : R) :
r = 0
theorem int.log_of_right_le_zero {R : Type u_1} (b : ) {r : R} (hr : r 0) :
r = 0
theorem int.zpow_log_le_self {R : Type u_1} {b : } {r : R} (hb : 1 < b) (hr : 0 < r) :
b ^ r r
theorem int.lt_zpow_succ_log_self {R : Type u_1} {b : } (hb : 1 < b) (r : R) :
r < b ^ (int.log b r + 1)
@[simp]
theorem int.log_zero_right {R : Type u_1} (b : ) :
0 = 0
@[simp]
theorem int.log_one_right {R : Type u_1} (b : ) :
1 = 0
theorem int.log_zpow {R : Type u_1} {b : } (hb : 1 < b) (z : ) :
(b ^ z) = z
theorem int.log_mono_right {R : Type u_1} {b : } {r₁ r₂ : R} (h₀ : 0 < r₁) (h : r₁ r₂) :
r₁ r₂
def int.zpow_log_gi (R : Type u_1) {b : } (hb : 1 < b) :
galois_coinsertion (λ (z : ), b ^ z, _⟩) (λ (r : (set.Ioi 0)), r)

Over suitable subtypes, zpow and int.log form a galois coinsertion

Equations
• hb =
theorem int.lt_zpow_iff_log_lt {R : Type u_1} {b : } (hb : 1 < b) {x : } {r : R} (hr : 0 < r) :
r < b ^ x r < x

zpow b and int.log b (almost) form a Galois connection.

theorem int.zpow_le_iff_le_log {R : Type u_1} {b : } (hb : 1 < b) {x : } {r : R} (hr : 0 < r) :
b ^ x r x r

zpow b and int.log b (almost) form a Galois connection.

def int.clog {R : Type u_1} (b : ) (r : R) :

The least power of b such that r ≤ b ^ log b r.

Equations
theorem int.clog_of_one_le_right {R : Type u_1} (b : ) {r : R} (hr : 1 r) :
theorem int.clog_of_right_le_one {R : Type u_1} (b : ) {r : R} (hr : r 1) :
theorem int.clog_of_right_le_zero {R : Type u_1} (b : ) {r : R} (hr : r 0) :
r = 0
@[simp]
theorem int.clog_inv {R : Type u_1} (b : ) (r : R) :
r⁻¹ = - r
@[simp]
theorem int.log_inv {R : Type u_1} (b : ) (r : R) :
r⁻¹ = - r
theorem int.neg_log_inv_eq_clog {R : Type u_1} (b : ) (r : R) :
- r⁻¹ = r
theorem int.neg_clog_inv_eq_log {R : Type u_1} (b : ) (r : R) :
- r⁻¹ = r
@[simp, norm_cast]
theorem int.clog_nat_cast {R : Type u_1} (b n : ) :
n = (nat.clog b n)
theorem int.clog_of_left_le_one {R : Type u_1} {b : } (hb : b 1) (r : R) :
r = 0
theorem int.self_le_zpow_clog {R : Type u_1} {b : } (hb : 1 < b) (r : R) :
r b ^ r
theorem int.zpow_pred_clog_lt_self {R : Type u_1} {b : } {r : R} (hb : 1 < b) (hr : 0 < r) :
b ^ (int.clog b r - 1) < r
@[simp]
theorem int.clog_zero_right {R : Type u_1} (b : ) :
0 = 0
@[simp]
theorem int.clog_one_right {R : Type u_1} (b : ) :
1 = 0
theorem int.clog_zpow {R : Type u_1} {b : } (hb : 1 < b) (z : ) :
(b ^ z) = z
theorem int.clog_mono_right {R : Type u_1} {b : } {r₁ r₂ : R} (h₀ : 0 < r₁) (h : r₁ r₂) :
r₁ r₂
def int.clog_zpow_gi (R : Type u_1) {b : } (hb : 1 < b) :
galois_insertion (λ (r : (set.Ioi 0)), r) (λ (z : ), b ^ z, _⟩)

Over suitable subtypes, int.clog and zpow form a galois insertion

Equations
• hb =
theorem int.zpow_lt_iff_lt_clog {R : Type u_1} {b : } (hb : 1 < b) {x : } {r : R} (hr : 0 < r) :
b ^ x < r x < r

int.clog b and zpow b (almost) form a Galois connection.

theorem int.le_zpow_iff_clog_le {R : Type u_1} {b : } (hb : 1 < b) {x : } {r : R} (hr : 0 < r) :
r b ^ x r x

int.clog b and zpow b (almost) form a Galois connection.